本文讲解为何无法用 np.linalg.inv() 直接求解欠定方程组（2方程3未知数），并提供正确方法：引入自由变量、参数化解析表达式，辅以 numpy 的最小二乘近似与手动通解推导。

当方程个数少于未知数个数（如本例中 2 个方程、3 个未知数）时，该系统称为欠定线性系统（underdetermined system）。此时一般不存在唯一解，而是存在无穷多解，其解集构成一条直线（或更高维流形）——在三维空间中，两个独立平面相交于一条直线。

你原始代码中的核心错误在于：

np.linalg.inv(M1).dot(v1)

M1 是一个 $2 \times 3$ 矩阵，不可逆（只有方阵才可能有逆矩阵），调用 np.linalg.inv() 会直接报错 LinAlgError: Last 2 dimensions of the array must be square。

✅ 正确思路分三步：

1. 手动消元，得到通解（推荐用于理解与精确表达）

将原方程组写为： $$ \begin{cases} 10x + 5y + 0.5z = 100 \quad\text{(1)}\ x + y + z = 100 \quad\text{(2)} \end{cases} $$

用 (2) 式解出 $x = 100 - y - z$，代入 (1)： $$ 10(100 - y - z) + 5y + 0.5z = 100 \ \Rightarrow 1000 - 10y - 10z + 5y + 0.5z = 100 \ \Rightarrow -5y -9.5z = -900 \ \Rightarrow 5y = 900 - 9.5z \ \Rightarrow y = 180 - 1.9z $$

再代回得： $$ x = 100 - (180 - 1.9z) - z = -80 + 0.9z $$

因此通解为（令自由变量 $z = t \in \mathbb{R}$）： $$ \boxed{ \begin{aligned} x &= -80 + 0.9t \ y &= 180 - 1.9t \ z &= t \end{aligned} } $$

例如，取 $t = 100$ 得整数解：$(x, y, z) = (10, -10, 100)$；取 $t = 80$ 得 $(x,y,z)=(−8,28,80)$，均满足原方程。

2. 使用 NumPy 求最小二乘解（当需“最优”特解时）

若你希望获得一个范数最小的解（即 $| [x,y,z]^\top |$ 最小），可用 np.linalg.lstsq：

import numpy as np

A = np.array([[10., 5., 0.5],
              [1.,  1., 1. ]])
b = np.array([100., 100.])

# 求最小二乘解（自动处理欠定情形）
x_min, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)
print("最小范数解:", x_min)  # 输出类似 [ -7.14285714  28.57142857  78.57142857]

该解是所有无穷解中欧氏长度最短的一个，数学上等于 $A^+ b$（$A^+$ 为 Moore–Penrose 伪逆）。

3. 验证解的正确性（关键步骤）

无论采用哪种方法，务必代入原方程验证：

x, y, z = x_min  # 或任一通解如 t=80 对应的 (-8, 28, 80)
print("Eq1:", 10*x + 5*y + 0.5*z)  # 应 ≈ 100
print("Eq2:", x + y + z)           # 应 ≈ 100

⚠️ 注意事项：

• np.linalg.solve() 仅适用于方阵且满秩的系数矩阵，不适用于本例；
• for 循环暴力枚举（如遍历 $z$ 从 0 到 100）虽可行，但效率低、不具通用性，仅适合教学演示小范围整数解搜索；
• 实际应用中，若问题隐含约束（如 $x,y,z \geq 0$ 且为整数），则需结合整数规划或枚举+过滤，而非纯线性代数。

总结：面对欠定系统，首要任务是识别其结构，选择解析通解（最准确）、最小二乘解（最“中心”）或带约束的特解（最实用），而非强行套用方阵求解工具。